Simulación de soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas con aplicación a las finanzas

Abstract

Algunos fenómenos, que ocurren en la naturaleza, así como en finanzas, se pueden modelar mediante el uso de ecuaciones diferenciales estocásticas, como por ejemplo, las ecuaciones de los llamados estados de difusión. Algunos de los fenómenos que se pueden modelar son: dinámicas de población, cinética de proteínas y actividad neuronal; y hay campos como: genética y psicología experimental, en donde se aplica también el análisis estocástico. Se puede decir que los procesos estocásticos son para las ecuaciones diferenciales estocásticas lo que las funciones de una variable son para las ecuaciones diferenciales ordinarias. Se plantea un modelo que conlleva a una ecuación diferencial estocástica para luego encontrar su solución. Como el resultado es un proceso estocástico, que muchas veces no se puede obtener de manera explícita, es necesario aproximar la solución numéricamente. Además, hay que simular algunas de las trayectorias que toma para poder comprenderlo y describirlo. Otra de las aplicaciones naturales de las ecuaciones diferenciales estocásticas aparece en el mercado de la bolsa de valores. En la bolsa de valores es necesario establecer precios justos de los activos y los derivados financieros de tal manera que no exista posibilidad de arbitraje por parte de algún sector económico. Para lograr establecer precios justos se desea simular trayectorias de las soluciones de la ecuación en cuestión, estimando previamente unos parámetros, como se verá más adelante. Es el objetivo de este trabajo el aplicar la simulación para encontrar precios justos de opciones financieras.