Reducción de un modelo de dispersión poblacional utilizando el método POD

Abstract

Los modelos de dinámica de población que no sólo consideran el crecimiento poblacional de una especie a lo largo del tiempo, sino que también consideran su dispersión en el espacio, pueden ser modelados matemáticamente mediante ecuaciones de reacción-difusión. Desde el punto de vista práctico, es de interés saber de qué manera es posible predecir y controlar dichos procesos. Por ejemplo, limitar la expansión de plagas, planificar el método de pesca en una piscina, la recolección de productos de una plantación, limitar el crecimiento de una población de bacterias, etc. En este proyecto de titulación estudiaremos el problema dado por un sencillo modelo particular de crecimiento poblacional, descrito por la ecuación de Fisher. Para su aplicación práctica, estos problemas requieren ser resueltos numéricamente en un computador. En el caso de la resolución de ecuaciones de reacción-difusión en dos dimensiones, luego de un proceso de discretización del modelo, nos encontramos rápidamente con la dificultad de resolver problemas a gran escala; los cuales difícilmente pueden ser trabajados con alta precisión en computadores personales debido al gran costo computacional que requiere su resolución numérica. Por esta razón, y como tema central de este proyecto, nos proponemos aplicar a la ecuación de Fisher la técnica de reducción de modelo conocida como POD por sus siglas en ingles: "Proper Orthogonal Decomposition". Diversos ensayos numéricos son presentados a lo largo de este trabajo para ilustrar distintos aspectos del modelo estudiado y las técnicas numéricas aplicadas para resolverlo.