Numerical solutions of differential Riccati Equations Arising in Optimal Control Problems for Parabolic Partial Differential Equations

Abstract

Las ecuaciones diferenciales de Riccati (DREs) aparecen en muchas aplicaciones de ciencia e ingeniería, en especial en la teoría de control. Problemas de optimización gobernados por ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) con frecuencia pueden formularse como problemas de Cauchy abstractos si además se impone un funcional de costo cuadrático se obtiene un problema linear quadratic regulador (LQR) para un sistema de dimensión infinita. La solución de este problema es dada via feedback en términos de la ecuación diferencial de Riccati para operadores. De la semidiscretización de este problema resulta una ecuación matricial de Riccati a gran escala. Típicamente los coeficientes de la ecuación matricial resultante tienen una estructura definida (e.g. dispersión, simetría ó rango bajo). En este trabajo derivamos métodos numéricos capaces de explotar eficientemente esta estructura. Se espera que las EDRs sean rígidas (stiff), por lo que nos enfocaremos en métodos que puedan tratar el fenómeno de la rigidez eficientemente. Los métodos BDF (backward differentiation formulae) y los métodos de tipo Rosenbrock son comúnmente usados para resolver sistemas rígidos entre los métodos de multipaso y un paso, para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), respectivamente. Por lo tanto derivamos versiones matriciales de estos algoritmos aplicables a EDRs a gran escala. El problema de resolver EDRs a gran escala es también de gran importancia en problemas de control óptimo no lineal de tipo tracking o stabilization en el contexto de receding horizon y model predictive control, i.e. se resuelven problemas lineales en intervalos de tiempo pequeños. En este marco estudiamos la resolución numérica de problemas de control óptimo para ecuaciones no estacionarias tales como: la ecuación del calor, convección-difusión formuladas previamente como problemas LQR abstractos.