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Title: Existencia, unicidad y regularidad Hölder de soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi con derivada temporal de tipo Caputo.
Authors: Pucha Atán, Kevin Wladimir
Issue Date: Feb-2022
Publisher: Quito : EPN, 2022
Citation: Pucha Atán, K. W. (2022). Existencia, unicidad y regularidad Hölder de soluciones de la ecuación de Hamilton-Jacobi con derivada temporal de tipo Caputo. 81 hojas. Quito : EPN.
Abstract: We are interested in the following Cauchy's problem: D^α u(t,x)+H(t,x,u(t,x),Du(t,x))=0, (t,x)∈Q≔(0,+∞)×T^N subject to the initial condition u(0,x)=u_0 (x), ∀ x∈T^N, where u_0∈"Lip" (T^N ) and H∈"C" (T^N×R×R^N ) are given functions. Moreover T^N denotes the N-dimensional Torus and "Lip" (T^N ) denotes the set of the Lipschitz continuos functions on T^N, u is the unknown function, Du is the spatial gradient of u, i.e., Du=(D_(x_1 ) u,…,D_(x_N ) u) and D^α is the Caputo's fractional derivative of order α∈(0,1). The concept of a viscosity solution and discontinuous viscosity solution for this type of problem are defined. We will show the existence of discontinuous viscosity solutions using Perron's Method. We will show the Comparison Principle, which together with Perron's Method allows us to prove the existence and uniqueness of a viscosity solution to the problem. Finally, we analyze the regularity of the solution both in time and space.
Description: Estamos interesados en el estudio del siguiente problema de Cauchy: D^α u(t,x)+H(t,x,u(t,x),Du(t,x))=0, (t,x)∈Q≔(0,+∞)×T^N sujeto a la condición inicial u(0,x)=u_0 (x), ∀ x∈T^N, donde u_0∈"Lip" (T^N ) y H∈"C" (T^N×R×R^N ) son funciones dadas. Además T^N denota el toro N-dimensional, "Lip" (T^N )denota el conjunto de las funciones Lipschitz continuas sobre T^N, u es la función incógnita, Du es el gradiente espacial de u, i.e., Du=(D_(x_1 ) u,…,D_(x_N ) u) y D^α denota la derivada fraccionara de Caputo de orden α∈(0,1). Se definen los conceptos de solución viscosa y solución viscosa discontinua para este tipo de problemas. Mostraremos existencia de soluciones viscosas discontinuas usando el Método de Perron. Probaremos el Principio de Comparación, que junto al Método de Perron permite demostrar la existencia y unicidad de una solución viscosa para el problema. Finalmente analizamos la regularidad de la solución tanto en tiempo como en espacio.
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