Método de newton generalizado para la resolución numérica de la desigualdad variacional de black-scholes

Abstract

En este trabajo se estudia el problema de valoración de opciones financieras americanas (OA) y su resolución numérica. Con este fin, se recurre al proceso de Ito para formular un modelo de precios continuo para el activo subyacente de la OA y mediante el Lema el Ito se deduce la Ecuación de Black & Scholes que combinada con una función de rentabilidad y condiciones de negociación definen un problema a frontera libre. El problema a frontera libre es expresado como una desigualdad variacional parabólica (PVI) definida sobre un conjunto convexo, cerrado y no vacío, a partir de la cual se introduce un sistema de complementariedad y una familia de problemas regularizados, con sus soluciones convergiendo a la solución fuerte del problema cuyas propiedades justifican plenamente la introducción del sistema de complementariedad y la existencia del multiplicador de Lagrange asociado a la condición de obstáculo de la PVI. El multiplicador de Lagrange motiva el uso de la estrategia de conjuntos activos e inactivos, la misma que combinada con una semidiscretización temporal de tipo Euler implícito nos permite formular el algoritmo fundamental de este trabajo. Posteriormente, se evidencia que el algoritmo es equivalente a una forma particular del método de Newton Semi Suave, asumiendo de éste sus propiedades y principalmente la súper-linealidad de su convergencia. Para la implementación del algoritmo se utiliza una técnica de elementos finitos unidimensionales acoplada a la estrategia de conjuntos activos e inactivos la cual fue programada en Matlab. En la etapa de experimentación numérica se realiza un estudio del tipo y radio de convergencia, se experimenta con el factor de penalización inherente a la técnica de conjuntos activos e inactivos; así como con la sensibilidad al refinamiento del mallado asociado a la técnica de elementos finitos y a la ampliación del dominio computacional (rango de precios del activo subyacente).