Eliminación del ruido en imágenes a través de un problema de optimización binivel con parámetro polinomial.

Abstract

Resumen .- La presencia completamente aleatoria de ruido o distorsión en una imagen es un resultado inevitable en la adquisición de imágenes digitales, por lo que es necesario estudiar un método de disminución de este ruido. En este proyecto partimos del modelo de Variación Total que fue introducido para el control y la reconstrucción de imágenes en un artículo de 1992 por Rudin, Osher y Fatemi ya que este modelo se ha vuelto, al igual que otros modelos variacionales, clásico para los problemas de análisis de imágenes. Basados en una metodología de variación total, planteamos el problema de determinación del peso de un ruido como un problema de estimación óptima de parámetros. Consideramos en este trabajo tres tipos de peso: un parámetro real, un polinomio cuadrático de coeficientes positivos y el caso de una función en general. Debido a que el problema subyacente consiste en uno de optimización no diferenciable en dimensión infinita, la caracterización y cálculo de la solución al problema global (binivel) resultan complejos. Estudiamos el problema de manera analítica, obteniendo resultados de existencia, aproximación y caracterización a través de condiciones necesarias de primer orden, y numérica, considerando métodos cuasi-Newton en combinación con métodos de Newton generalizados. Abstract.- The presence of noise or random distortions is an inevitable result when acquiring digital images, so it is necessary to study a method for reducing this noise. In this project we take, as a starting point, the Total Variation Model that was introduced for the control and reconstruction of images in a 1992 article by Rudin, Osher and Fatemi, because this model has become, like other variational models, a classic for understanding image analysis problems. Based on the Total Variation methodology, we propose the problem of finding the noise weight as a problem of optimal parameter estimation. We consider in this paper three types of weight: a real parameter, a quadratic polynomial with nonnegative coefficients and a general function. Because the underlying problem is not differentiable in the infinite dimensional case, characterization and computation of the solution to the global problem (dual) are complex. We study the problem analytically, obtaining existence, approach and characterization results through first order necessary conditions, and numerically considering quasi-Newton methods in combination with generalized Newton methods.