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Título : Conjuntos de Cantor, Números de Liouville y Números Diofantinos
Autor : Ortiz Castro, Jonathan Alejandro
Palabras clave : Números de Liouville
Teoría de números
Fecha de publicación : 6-abr-2016
Editorial : Quito, 2016.
Citación : Ortiz Castro, J. A. (2016). Conjuntos de Cantor, Números de Liouville y Números Diofantinos. 90 hojas. Quito : EPN.
Resumen : In this document we study the existence of two Cantor sets, one contained in the Liouville Numbers (L) and the other one in the Diophantine Numbers (D). First, by using some properties of L, we built an uncountable and closed set S⊆ L. By Bendixson’s Theorem, there exists a perfect set C1⊆ S⊆ L. Since L is a null set (λ(L)=0), C1 is also a null set. We conclude that C1⊆L is a Cantor set. On the other hand, from the fact that D is a countable union of closed and nowhere dense sets, and since D is uncountable, there exists D0⊆ D such that D0 is an uncountable closed and nowhere dense set. By Bendixson’s Theorem, there is a perfect set C2⊆ D0⊆D. Since D0 is a nowhere dense set, we conclude C2⊆ D is a Cantor set.
Descripción : En el presente trabajo se estudia la existencia de dos conjuntos de Cantor distintos, uno contenido en el conjunto de los Números de Liouville L y el otro en el de los Números Diofantinos D. Primero, utilizando algunas propiedades del conjunto L, se construye un conjunto cerrado no numerable S⊆ L. Luego, por el Teorema de Bendixson, existe un conjunto perfecto no numerable C1⊆ S⊆ L. Por otra parte, puesto que L es un conjunto de medida de Lebesgue nula, λ(L)=0, C1 también lo es. Así, C1⊆L es un conjunto de Cantor. Por otro lado, expresando a D como la unión de conjuntos cerrados y nada densos, puesto que D es no numerable, se deduce que existe D0⊆D tal que D0 es cerrado, nada denso y no numerable. De nuevo, por el Teorema de Bendixson, existe un conjunto perfecto C2⊆ D0⊆ D. Finalmente, de C2⊆ D0 y del hecho de que D0 es nada denso, se sigue que C2⊆ D es un conjunto de Cantor.
URI : http://bibdigital.epn.edu.ec/handle/15000/15151
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